Computeralgebra by Michael Kaplan

By Michael Kaplan

Unter Computeralgebra versteht guy den Grenzbereich zwischen Algebra und Informatik, der sich mit Entwurf, examine, Implementierung und Anwendung algebraischer Algorithmen befasst. Entsprechend dieser Sichtweise stellt der Autor einige Computeralgebra-Systeme vor und zeigt an Beispielen deren Leistungsfähigkeit. Grundlegende Techniken, wie etwa das Rechnen mit großen ganzen Zahlen, werden untersucht. Für komplexe Fragestellungen wie das Faktorisieren von Polynomen, werden mehrere Algorithmen angeboten, da diese verschiedene Stärken haben. Häufig ist der vermeintliche Umweg über andere mathematische Strukturen der schnellste Weg. In den ersten Kapiteln werden die nötigen mathematischen Grundlagen zur Verfügung gestellt. Die folgenden Kapitel können dann weitestgehend unabhängig voneinander gelesen werden. Alle vorgestellten Algorithmen werden begründet und teilweise in einer Pseudoprogrammiersprache dargestellt. Das Buch richtet sich gleichermaßen an Studierende der Mathematik und der Informatik.

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Q1 q2 · · a2 a3 + + a3 a4 mit mit δ(a3 ) δ(a4 ) < δ(a2 ) < δ(a3 ) ar−1 = qr−1 · ar + ar+1 mit δ(ar+1 ) < δ(ar ) ar = qr · ar+1 ⇒ ggT(a, b) = ar+1 . Dabei sei ai = 0 f¨ ur i = 1, . . , r + 1 . uber hinwegt¨ auschen, Die Schreibweise ggT(a, b) = ar+1 sollte nicht dar¨ dass ein ggT nur bis auf Multiplikation mit Einheiten bestimmt ist, also etwa in ❩ : ggT(10, 15) = ±5 . Aus diesem Grunde findet man auch oft die Schreibweisen 5 ∈ ggT(10, 15) und ggT(10, 15) = {−5, 5} . In Ringen, in denen es mehr Einheiten gibt, ist diese Menge entsprechend gr¨ oßer.

Die Elemente a und b heißen zugeh¨ orige Ahnlichkeitskoeffizienten. Jedes f (x) ∈ R[x] l¨ asst sich in seinen Inhalt ( ggT der Koeffizienten, in Zeichen Inh(f ) ) und den verbleibenden primitiven Anteil pA(f ) := f / Inh(f ) zerlegen. Der Inhalt und somit auch der primitive Anteil eines Polynoms ist wie der ggT nur bis auf Einheiten bestimmt. Elemente a und b eines Integrit¨atsringes heißen assoziiert, wenn es eine Einheit e ∈ R mit a = e · b gibt. Da das u ur ¨ ahnliche Polynome vergeben ¨bliche Symbol ∼ hier bereits f¨ ist, wird hier a b f¨ ur assoziierte Elemente geschrieben.

Yr 2 ist. Dabei sei y1 , . . , yr 2 das Quadrat des von y1 , . . , yr in R[x1 , . . , xr ][y1 , . . , yr ] erzeugten Ideals. h. man definiert f¨ ur einen Term ∂ n n −1 (xn1 · . . · xj j · . . · xnr r ) := nj · (xn1 1 · . . · xj j · . . · xnr r ) ∂xj 1 und erweitert diese Definition auf R[x1 , . . , xr ] durch lineare Fortsetzung. Wegen der Linearit¨ at der partiellen Ableitung reicht es, wenn man den Satz f¨ ur einen einzelnen Term einsieht. Nach dem binomischen Satz gilt n1 −1 nr −1 r 1 (x1 +y1 )n1 ·.

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