Algebra, 8th Edition by Siegfried Bosch (auth.)

By Siegfried Bosch (auth.)

Eine verständliche, konzise und immer flüssige Einführung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgfältige didaktische Aufbereitung bei vielen Studierenden Freunde findet. Die vorliegende Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit Lösungshinweisen) sowie einführenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten, Kummer-Theorie und Witt-Vektoren werden angesprochen. Die berühmten Formeln aus dem sixteen. Jahrhundert zur Auflösung von Gleichungen dritten und vierten Grades werden ausführlich erläutert und in den Rahmen der Galois-Theorie eingeordnet.

Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das für das Studium der Algebra unentbehrlich ist.

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Zu verstehen hat. Setzt man den Koeffizientenbereich K als Körper (oder auch als Ring) voraus, so kann man in gewohnter Weise Polynome addieren und multiplizieren, indem man die üblichen Rechenregeln formal anwendet. Auf diese Weise bilden die Polynome mit Koeffizienten aus K einen Ring K[X]. Zudem kann man Elemente x aus beliebigen Erweiterungskörpern (oder Erweiterungsringen) K' ::J K in Polynome J E K[X] einsetzen; man ersetze nämlich die Variable X jeweils durch x und betrachte den resultierenden Ausdruck J(x) als Element in K'.

3/12 ein kanonischer Isomorphismus R/(a) ~ R/(P~) x ... x R/(P~·). In euklidischen Ringen R gibt es ein konstruktives Verfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Elemente x, y E R, nämlich den Euklidischen Algorithmus. Durch iterative Anwendung von Beziehungen des Typs ggT(x, y, z) = ggT(ggT(x, y), z) eignet sich dieses Verfahren auch zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers von mehr als zwei Elementen. Satz 15. (Euklidischer Algorithmus). Es sei R ein euklidischer Ring.

H. (a+b) ·c=a·c+b·c, c· (a+b) =c·a+c·b, füra,b,c E R. ' Bei den Distributivgesetzen (iii) haben wir auf der rechten Seite der Gleichungen jeweils auf eine spezielle Klammerung verzichtet. Man vereinbart nämlich, dass wie beim Rechnen mit gewöhnlichen Zaltlen das Multiplikationszeichen stärker bindet als das Additionszeichen. Das Nullelement der Addition wird bei Ringen stets mit 0 bezeichnet, das Einselement der Multiplikation mit 1. Dabei ist auch 1 = 0 zugelassen. Dies ist jedoch nur im Nullring möglich, der lediglich aus dem Nullelement 0 besteht.

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