Algebra, 2nd Edition by Prof. Dr. Ernst Kunz (auth.)

By Prof. Dr. Ernst Kunz (auth.)

Inhalt
Inhalt: Konstruktion mit Zirkel und Lineal - Auflösung algebraischer Gleichungen - Algebraische und transzendente Körpererweiterungen - Teilbarkeit in Ringen - Irreduzibilitätskriterien - Ideale und Restklassenringe - Fortsetzung der Körpertheorie - Separable und inseparable algebraische Körpererweiterungen - Normale und galoissche Körpererweiterungen - Der Hauptsatz der Galoistheorie - Gruppentheorie - Fortsetzung der Galoistheorie - Einheitswurzelkö rper (Kreisteilungskörper) - Endliche Körper (Galois-Felder) - Au flösung algebraischer Gleichungen durch Radikale.

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Primelemente. In einem Ring R seien Elemente r und 8 gegeben. DEFINITION: r heißt Teiler von 8 (oder 8 Vielfaches von r), wenn ein q ER existiert mit 8 = r · q. Man schreibt dann r\8. GRUNDREGELN DER TEILBARKEIT: Für Elemente aus R gilt: a) r\r und r\0. Ferner ist 0 nur ein Teiler von 0. b) Aus r\8t und r\82 folgt r\8t ± 82. c) Aus r\8t und r\8t + 82 folgt r\82. d) Transitivität: Aus r\8 und 8\t folgt r\t. e) Aus r\8 und u\v folgt ru\8v. f) Jeder Teiler einer Einheit von R ist selbst eine Einheit.

Für Quotientenringe sieht das wie folgt aus: Angenommen, neben (RN, i) sei noch ein weiterer Quotientenring ( Q, i') vorhanden. 33b) ein Ringhomomorphismus h: RN --+ Q mit i' = hoi und mit dem gleichen Recht ein Ringhomomorphismus h': Q --+ RN mit i = h' o i'. 33b) (für i = j bzw. h. h und h' sind zueinander inverse lsomorphismen. Man spricht daher von dem Quotientenring (RN, i) von R zur Nennermenge N. Immer, wenn ein mathematisches Objekt durch eine universelle Eigenschaft definiert § 4 Teilbarkeit in Ringen 48 ist, hat man einen Eindeutigkeitsbeweis, der so abläuft wie der eben geführte.

N) und Z := K 0 (z). Dann ist [K;: K;_t) entweder 2 oder 1 (i = 1, ... · Notwendigerweise ist dann auch [Z : Ko] als Teiler dieser Zahl eine Potenz von 2. SATZ. Ist z E C aus M mit ZirkelundLinealkonstruierbar, dannist Ko(z)/Ko eine algebraische Körpererweiterung und es gilt [z : Ko] = [Ko(z) : Ko) = 2m mit einem m E N. Dieser Satz ermöglicht in vielen Fällen den Nachweis, daß eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal undurchführbar ist. 7)). Im Rahmen der Galoistheorie wird auch eine hinreichende Bedingung für die Konstruierbarkeit von z aus M gegeben werden (vgl.

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